Fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck aplicada a supercondutores de duas componentes

Fórmula de Lichnerowicz-Weitzenböck aplicada a supercondutores de duas componentes

Discente: 
Edinardo Ivison Batista Rodrigues
Orientador: 
Antônio Rodrigues de Castro Romaguera
Mauro Melchiades Doria

Nesta disserta¸c˜ao de mestrado, apresentamos um estudo te´orico da rede de v´ortices
baseado na express˜ao da energia cin´etica do funcional de energia livre para supercondutores
com uma e duas componentes em presen¸ca de um campo magn´etico aplicado.
Nos supercondutores de uma componente os pares de Cooper tˆem uma ´unica excita¸c˜ao
eletrˆonica, ou seja, a supercondutividade ´e descrita por um ´unico parˆametro de ordem.
Para os supercondutores de duas componentes, existem pares de Cooper com diferentes
excita¸c˜oes eletrˆonicas, ou seja, a supercondutividade ´e descrita por dois parˆametros de
ordem.
Este trabalho apresenta trˆes conjuntos de contribui¸c˜oes principais. O primeiro conjunto
consiste no estudo da energia cin´etica para um sistema supercondutor bidimensional
com anisotropia de massa. Consideramos uma abordagem do estado quˆantico macrosc
´opico descrito por uma ´unica componente como na teoria de Ginzburg-Landau. Este
estudo nos levou a uma indentidade chamada f´ormula de Lichnerowicz-Weitzenb¨ock (LW).
Esta f´ormula ´e uma rela¸c˜ao matem´atica entre o operador de Dirac, a derivada covariante
e a curvatura do sistema estudado. Em nossas investiga¸c˜oes, a curvatura ´e simplesmente
determinada pelo campo magn´etico local. A f´ormula LW proporcionou uma formula¸c˜ao
dupla da energia cin´etica do supercondutor e consequentemente obtivemos tamb´em uma
formula¸c˜ao dupla para as supercorrentes. Extraordinariamente, isso levou a uma solu¸c˜ao
direta da lei de Amp`ere atrav´es de equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem, que foram
centrais para a presente abordagem.

No segundo conjunto, estudamos a energia cin´etica de um sistema supercondutor
tridimensional com anisotropia de massa. Este estudo foi dividido em duas etapas. Na primeira etapa estudamos uma camada supercondutora e na segunda etapa estudamos umsistema de m´ultiplas camadas supercondutoras. Em ambos os casos, a supercondutividade

foi descrita por um parˆametro de ordem spinorial de duas componentes. Semelhante ao
modelo de uma componente, obtivemos uma visualiza¸c˜ao dupla para a energia cin´etica e as
supercorrentes usando a f´ormula de Lichnerowicz-Weitzenb¨ock. Obtivemos tamb´em uma
solu¸c˜ao direta da lei de Amp`ere atrav´es de equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem. Na
solu¸c˜ao da lei de Amp`ere impomos ao sistema uma condi¸c˜ao de estado fundamental. Esta
condi¸c˜ao foi primeiramente observada por A.A. Abrikosov no seu tratamento fundamental
da teoria de Ginzburg-Landau, com esta condi¸c˜ao determinamos o spinor e seus aspectos
mais relevantes, tal como a rede de v´ortice.
No terceiro conjunto estudamos as propriedades magn´eticas na multicamada supercondutora.
O estudo foi dividido em duas partes: na primeira parte investigamos a
magnetiza¸c˜ao na multicamada e na segunda parte estudamos a magnetiza¸c˜ao em uma
´unica camada supercondutora. Observamos o aparecimento de magnetiza¸c˜oes superficiais.
Esta magnetiza¸c˜ao superficial existe devido h´a descontinuidade da componente do
campo local paralela ao plano supercondutor. Calculamos que a m´edia da magnetiza¸c˜ao
no plano ´e nula e a m´edia perpendicular ao mesmo ´e diferente de zero na multicamada.