Estatística de Contagem em Cavidades Caóticas: resultados exatos para todos os ensembles circulares

Estatística de Contagem em Cavidades Caóticas: resultados exatos para todos os ensembles circulares

Discente: 
Carlos Eduardo Correia de Souza
Orientador: 
Ailton Fernandes de Macedo Junior

Nesta dissertação estudamos o problema de uma cavidade balística caótica conectada a dois
reservatórios de elétrons por dois guias ideais com número de canais abertos arbitrário em cada
guia. Este problema pode ser descrito pela matriz de espalhamento na teoria de Landauer-
Büttiker, que relaciona a condutância de um sistema mesoscópico com os autovalores de transmissão
da matriz. Sendo um sistema de dinâmica caótica, esses autovalores assumem o papel
de variáveis aleatórias e as matrizes que descrevem o sistema se tornam matrizes aleatórias no
ensemble de Jacobi. Uma das abordagens deste trabalho é construir um movimento browniano
fictício para os autovalores de transmissão e descrever o sistema por uma equação de Fokker-
Planck para a distribuição conjunta de autovalores. Isso leva a um sistema de equações lineares
que nos permite calcular a condutância, a potência do ruído de disparo e cumulantes de ordem
superior da estatística de contagem de carga do sistema. A outra abordagem vem do fato de
que esses cumulantes são funções simétricas dos autovalores de transmissão. A partir desta
propriedade podemos usar médias de funções simétricas para calcular os cumulantes. Uma
dessas técnicas é construir uma função geratriz de médias de produtos de funções simétricas,
que vem a ser uma função hipergeométrica de argumento matricial, e assim podemos encontrar
os cumulantes da estatística de contagem de carga. A vantagem desses dois métodos é
que eles são gerais, no sentido de que podemos fazer uso das mesmas equações para estudar
sistemas mesoscópicos em qualquer uma das dez classes de universalidade dos ensembles de
matrizes aleatórias da classificação de Altland-Zirnbauer. Assim, estudamos sistemas das classes
Wigner-Dyson, BdG e Quirais e calculamos soluções exatas nos dois métodos, mostrando
a equivalência entre as duas abordagens. Além disso, estudamos os sistemas via simulações
numéricas utilizando o método de Monte Carlo para o gás de Coulomb, de forma que podemos
fazer um comparativo entre os resultados obtidos pelos métodos analíticos e as simulações
numéricas.